Прямоугольная система координат

Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве

прямоугольная система координат

При введении системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве появляется уникальная возможность описания геометрических фигур и их свойств при помощи уравнений и неравенств. Это имеет иное название – методы алгебры.

Данная статья поможет разобраться с заданием прямоугольной декартовой системой координат и с определением координат точек. Более наглядное и подробное изображение имеется на графических иллюстрациях.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Чтобы ввести систему координат на плоскости, необходимо провести на плоскости две перпендикулярные прямые. Выбираем положительное направление, обозначая стрелочкой. Необходимо выбрать масштаб. Точку пересечения прямых назовем буквой O. Она считается началом отсчета. Это и называется прямоугольной системой координат на плоскости.

Прямые с началом O, имеющие направление и масштаб, называют координатной прямой или координатной осью.

Прямоугольная система координат обозначается Oxy. Координатными осями называют Ох и Оу, называемые соответственно ось абсцисс и ось ординат.

Изображение прямоугольной системы координат на плоскости.

Оси абсцисс и ординат имеют одинаковую единицу изменения и масштаб, что показано в виде штрихе в начале координатных осей. Стандартное направление Ох слева направо, а Oy – снизу вверх. Иногда используется альтернативный поворот под необходимым углом.

Прямоугольная система координат получила название декартовой в честь ее первооткрывателя Рене Декарта. Часто можно встретить название как прямоугольная декартовая система координат.

Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве

Трехмерное евклидовое пространство имеет аналогичную систему, только оно состоит не из двух, а из трех Ох, Оу, Оz осей. Это три взаимно перпендикулярные прямые, где Оz имеет название ось аппликат.

По направлению координатных осей делят на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.

Оси координат пересекаются в точке O, называемой началом. Каждая ось имеет положительное направление, которое указывается при помощи стрелок на осях. Если при повороте Ох против часовой стрелки на 90° ее положительное направление совпадает с положительным Оу, тогда это применимо для положительного направления Оz. Такую систему считают правой. Иначе говоря, если сравнить направление Х с большим пальцем руки, то указательный отвечает за Y, а средний за Z.

Аналогично образуется левая система координат. Обе системы совместить невозможно, так как соответствующие оси не совпадут.

Координаты точки в декартовой системе координат на плоскости

Для начала отложим точку М на координатной оси Ох. Любое действительное число xM равняется единственной точке М, расположенной на данной прямой. Если точка расположена на координатной прямой на расстоянии 2 от начала отсчета по положительному направлению, то она равна 2 , если -3, то соответственное расстояние 3. Ноль – это начало отсчета координатных прямых.

Иначе говоря, каждая точка М, расположенная на Ox, равна действительному числу xM . Этим действительным числом и является ноль, если точка M расположена в начале координат, то есть на пересечении Ox и Оу. Число длины отрезка всегда положительно, если точка удалена в положительном направлении и наоборот.

Имеющееся число xM называют координатой точки М на заданной координатной прямой.

Возьмем точку как проекцию точки Mx на Ох, а как проекцию точки My на Оу. Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям Оx и Оу прямые, где послучим соответственные точки пересечения  Mx и My .

Тогда точка Mx на оси Ох имеет соответствующее число xM , а My на Оу — yM. На координатных осях это выглядит так:

Каждая точка M на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат имеет одну соответствующую пару чисел (xM, yM), называемую ее координатами. Абсцисса M – это xM , ордината M – это yM .

Обратное утверждение также считается верным: каждая упорядоченная пара (xM, yM) имеет соответствующую заданную в плоскости точку.

Координаты точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве

Определение точки М в трехмерном пространстве. Пусть имеются Mx, My, Mz,  являющиеся проекциями точки М на соответствующие оси Ох, Оу, Оz. Тогда значения этих точек на осях Ох, Оу, Оz примут значения xM, yM, zM. Изобразим это на координатных прямых.

Чтобы получить проекции точки M, необходимо добавить перпендикулярные прямые Ох, Оу, Оz продолжить и изобразит в виде плоскостей, которые проходят через M. Таким образом, плоскости пересекутся в Mx, My, Mz

Каждая точка трехмерного пространства имеет свои данные (xM, yM, zM) , которые имеют название координаты точки M, , xM, yM, zM- это числа, называемые абсциссой, ординатой и аппликатой заданной точки M. Для данного суждения верно и обратное утверждение: каждая упорядоченная тройка действительных чисел (xM, yM, zM) в заданной прямоугольной системе координат имеет одну соответствующую точку M трехмерного пространства.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/prjamougolnaja-sistema-koordinat-na-ploskosti-i-v/

Система координат, виды и классификация

прямоугольная система координат

Пойдем прямым логическим путем, не отвлекаясь на многие современные международные и отечественные научные термины. Систему координат можно изобразить как некую систему отсчета ориентированную на плоскости двумя направлениями, а в пространстве тремя. Если вспомнить математическую систему, то она представлена двумя взаимно перпендикулярными направлениями, имеющими названия осей абсцисс (X) и ординат (Y).

Ориентированы они в горизонтальном и вертикальном направлениях соответственно. Пересечение этих линий является началом координат с нулевыми значениями в абсолютной величине. А местоположение точек на плоскости определяется при помощи двух координат X и Y. В геодезии ориентирование осей на плоскости отличается от математики.

Плоскостная прямоугольная система определена осью X в вертикальном положении (в направлении на север) и осью Y в горизонтальном (в направлении на восток). 

ЭТО ИНТЕРЕСНО:  Географические координаты этна

Классификация систем координат 

В геодезии все системы координат можно представить в виде двух групп:

  • прямолинейная прямоугольная
  • полярная

В обеих группах выделяют как плоские (двухмерные), так и пространственные (трехмерные) системы.

К прямолинейным прямоугольным системам относятся цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера, индивидуальные референцные и местные системы координат.

К полярным системам можно отнести географическую, астрономическую и геодезическую, геоцентрические и топоцентрические системы. 

Географическая система координат

Замкнутая поверхность внешнего контура Земли представлена сфероидной геометрической формой. За основные направления ориентирования на ней можно принять дуги на поверхности шара. На упрощенно представленном уменьшенном макете нашей планеты в виде глобуса (фигура земли) можно зрительно увидеть принятые линии отсчета в виде Гринвичского меридиана и экваториальной линии.

В этом примере выражена общепринятая во всем мире именно пространственная система географических координат. В ней введены понятия долготы и широты. Имея градусные единицы измерения, они представляют угловую величину. Многим знакомы их определения.

Следует напомнить, что географическая долгота конкретной точки представляет угол между двумя плоскостями, проходящими через нулевой (Гринвичский) меридиан и меридиан в определяемой точке расположения.

Под географической широтой точки принят угол, образующийся между отвесной линией (или нормалью) к ней и плоскостью экватора. 

Понятия астрономической и геодезической системы координат и их различия 

Географическая система условно объединяет астрономическую и геодезическую системы. Для того чтобы было понятно какие все-таки существуют различия обратите внимание на определения геодезических и астрономических координат (долготы, широты, высоты). В астрономической системе широта рассматривается как угол между экваториальной плоскостью и отвесной линией в точке определения.

А сама форма Земли в ней рассматривается как условный геоид, математически приближенно приравненный к сфере. В геодезической системе широта образовывается нормалью к поверхности земного эллипсоида в конкретной точке и плоскостью экватора. Третьи координаты в этих системах дают окончательное представление в их различиях. Астрономическая (ортометрическая) высота представляет собой превышение по отвесной линии между фактической и точкой на поверхности уровенного геоида.

Геодезической высотой считается расстояние по нормали от поверхности эллипсоида до точки вычисления. 

Система плоских прямоугольных систем координат Гаусса-Крюгера 

Каждая система координат имеет свое теоретическое научное и практическое экономическое применение, как в глобальном, так и региональном масштабах. В некоторых конкретных случаях возможно использование референцных, местных  и условных систем координат, но которые через математические расчеты и вычисления все равно могут быть объединены между собой.

Геодезическая прямоугольная плоская система координат является проекцией отдельных шестиградусных зон эллипсоида. Вписав эту фигуру внутрь горизонтально расположенного цилиндра, каждая зона отдельно проецируется на внутреннюю цилиндрическую поверхность. Зоны такого сфероида ограничиваются меридианами с шагом в шесть градусов.

При развертывании на плоскости получается проекция, которая имеет название в честь немецких ученых её разработавших Гаусса-Крюгера. В таком способе проецирования углы между любыми направлениями сохраняют свои величины. Поэтому иногда ее называют еще равноугольной. Ось абсцисс в зоне проходит по центру, через условный осевой меридиан (ось X), а ось ординат по линии экватора (ось Y).

Длины линий вдоль осевого меридиана передается без искажений, а вдоль экваториальной линии с искажениями к краям зоны. 

Полярная система координат 

Кроме выше описанной прямоугольной системы координат следует отметить наличие и использование в решении геодезических задач плоской полярной системы координат. За исходное отсчетное направление в ней применяется ось северного (полярного) направления, откуда и название. Для определения местоположения точек на плоскости используют полярный (дирекционный) угол и радиус-вектор (горизонтальное проложение) до точки.

Напомним, что дирекционным углом считается угол, отсчитываемый от исходного (северного) направления до определяемого. Радиус-вектор выражается в определении горизонтального проложения. К пространственной полярной системе добавляется геодезические измерения вертикального угла и наклонного расстояния для определения 3D-положения точек.

Этот способ практически ежедневно применяется в тригонометрическом нивелировании, топографической съемке и для развития геодезических сетей. 

Геоцентрические и топоцентрические системы координат 

По такому же полярному методу частично устроены и спутниковые геоцентрическая и топоцентрическая системы координат, с той лишь разницей, что основные оси трехмерного пространства (X, Y, Z) имеют отличные начала и направления.

В геоцентрической системе началом координат является центр масс Земли. Ось X имеет направление по Гринвичскому меридиану к экватору. Ось Y располагают в прямоугольном положении на восток от X. Ось Z изначально имеет полярное направление по малой оси эллипсоида.

Координатами в ней считаются:

  • в экваториальной плоскости геоцентрическое прямое восхождение спутника
  • в меридианной плоскости геоцентрическое склонение спутника
  • геоцентрический радиус-вектор расстояние от центра тяжести Земли до спутника.

При наблюдении за движением спутников из точки стояния на земной поверхности используют топоцентрическую систему, оси координат которой расположены параллельно осям геоцентрической системы, а ее началом считается пункт наблюдения. Координаты в такой системе:

  • топоцентрическое прямое восхождение спутника
  • топоцентрическое склонение спутника
  • топоцентрический радиус-вектор спутника
  • геоцентрический радиус вектор в точке наблюдений.

В современные  спутниковые глобальные системы отсчета WGS-84, ПЗ-90 входят не только координаты, но и другие параметры и характеристики важные для геодезических измерений, наблюдений и навигации. К ним относятся геодезические и другие константы:

  • исходные геодезические даты
  • данные земного эллипсоида
  • модель геоида
  • модель гравитационного поля
  • значения величины гравитационной постоянной
  • значение скорости света и другие.

Источник: https://geostart.ru/post/22

Декартова система координат, прямоугольная система в двух и трехмерном пространстве

прямоугольная система координат

Рис. 1

Иногда такую систему называют косоугольной.

Прямоугольная декартова система координат

Прямоугольная система координат – это прямолинейная система, где взаимно перпендикулярны оси на плоскости или в пространстве. Такая система координат самая простая и поэтому часто используется

ЭТО ИНТЕРЕСНО:  Фудзияма географические координаты

Среди декартовых систем, самая распространённая прямоугольная декартова система координат, которая бывает двух видов:

  1. прямоугольная декартова система координат на плоскости;
  2. прямоугольная система координат в пространстве.

Прямоугольная система координат на плоскости (двухмерная система координат)

Прямоугольная система координат на плоскости – это две взаимно перпендикулярные оси координат, которые пересекаются в точке (начало координат). Ещё такая система координат называется двухмерной. Есть ось , которая направлена вправо и есть ось , которая направлена вертикально вверх.

Координаты любых точек на плоскости определяются двумя числами . Эти числа – ортогональные проекции точки на соответствующие координатные оси. Как правило, – абсцисса точки, а – ордината (см. рис. 2). Элементарно можно найти расстояние между этими двумя точками:

и расстояние на плоскости определяется выражением:

Рис. 2

Прямоугольная система координат в пространстве (трёхмерная система координат)

Прямоугольная система в пространстве – это три взаимно перпендикулярные  оси с общим началом в точке – началом координат. Ось называется осью абсцисс, – ось ординат, – ось аппликат.

Координата любой точки в пространстве определяется тремя настоящими числами . Часто такую систему  называют: “прямоугольная система координат в трёхмерном пространстве”.

Расстояние между двумя точками находится по формуле:

Рис. 3

Вместо произвольных базисных векторов , ,  удобнее взять единичные векторы , , , направленные соответственно вдоль осей . Такие векторы называются ортами, а образованный ними базис называется ортонормированными (ортогональными). Вектор = , который называется радиусом-вектором точки и у него такой расклад:

(3)

Очевидно, что произвольная точка в заданной системе координат однозначно определяется своим радиусом-вектором , а координаты точки с координатами её радиуса-вектора.

Обратим внимание на тот факт, что, если в предыдущих темах выражение “дан вектор” мы подразумевали  его графическое  (геометрическое) изображение, то теперь выражение “дан вектор” необходимо воспринимать как задание тройке упорядоченных числе – координат вектора.

Решение задач

Пример

Задача

Убедиться, что система векторов образует базис и найти координаты вектора в этом базисе, если известны в прямоугольной системе координаты этих векторов: , , , .

Решение

Векторы образуют базис, если они линейно независимы, то есть, их линейна комбинация , где ,  только тогда, когда

Проверим это при помощи свойств с темы базиса:

.

Приравнивая соответствующие координаты, получим систему:

Определитель этой системы:

Все вспомогательные определители ,  так как в каждом из них есть нулевой столбец из свободных членов однородной системы. Значит, согласно формулам Крамера , и, таким образом, векторы – линейно независимы, а значит, создают новый базис.

Обратим внимание, что элементы столбцов определителя совпадают с соответствующими координатами векторов .

Вывод. Если определитель, созданный из координат векторов , не равен нулю, тогда эти векторы линейно независимы, то есть создают базис.

Теперь найдём координаты вектора в базисе , то есть найдём числа , такие, что выполняют равенство:

.

Повторяя предыдущие преобразования, у нас получается:

Приравнивая соответствующие координаты в левой и правой частях равенства, получим систему, которую удобно решать алгебраическим методом:

 Таким образом, решив данную систему получим вектор

Источник: https://NauchnieStati.ru/spravka/dekartova-sistema-koordinat/

Декартовы прямоугольные системы координат

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X’X и Y’Y. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление. В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси Y’Y вверх, ось X’X смотрела направо.

Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X’X и Y’Y, называются координатными углами или квадрантами (см. рис. 1).

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y’Y и X’X соответственно.

Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A. Записывают так: .

Если точка A лежит в координатном углу I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном углу III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

Рис. 2: Декартова плоскость

Декартовыми прямоугольными координатами точки P на плоскости называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до двух взаимно перпендикулярных прямых — осей координат или, что то же, проекции радиус-вектора r точки P на две взаимно перпендикулярные координатные оси.

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось аппликат.

Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный за направление Y, а средний за направление Z, то образуется правая система координат.

Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат.

Иначе говоря, положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси.

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A. Записывают так: .

В зависимости от взаимного расположения положительных направлений координатных осей возможны левая и правая координатные системы.

Рис. 3а: Левые координатные системы

ЭТО ИНТЕРЕСНО:  Географические координаты парижа

Рис. 3б: Правые координатные системы

Как правило, пользуются правой координатной системой. Положительные направления выбирают: на оси Ox — на наблюдателя; на оси Oy — вправо; на оси Oz — вверх.

Статьи к прочтению:

  • Деление линии на равные части
  • Delete(str_1,2, length(str_1)-2);

Геометрия 11 класс — Прямоугольная система координат в пространстве

Источник: http://csaa.ru/dekartovy-prjamougolnye-sistemy-koordinat/

math4school.ru

Координаты на плоскости и в пространстве

Расстояние между точками

Координаты середины отрезка

Координаты точки деления отрезка в данном отношении

Уравнения прямой на плоскости

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Пересечение двух прямых

Уравнение окружности

Уравнение сферы

Уравнения плоскости

Взаимное расположение двух плоскостей

Координаты на плоскости и в пространстве

Ось — прямая линия с указанным на ней направлением.

Ось координат — ось, на которой заданы начало отсчёта (начало координат), единичный отрезок, и каждому действительному числу соответствует определённая единственная точка.

На плоскости

Декартова (прямоугольная) система координат — две взаимно перпендикулярные оси координат (ось абсцисс Ox и ось ординат Oy) с общим началом отсчёта.

Каждой точке А координатной плоскости ставится в соответствие пара чисел (xA; yA) — координаты проекций точки на соответствующие оси координат.

Ax(xA; 0) — проекция точки А на координатную ось Ox;

Ay (0; yA)— проекция точки А на координатную ось Oу.

В пространстве

Декартова (прямоугольная) система координат — три взаимно перпендикулярные оси координат (ось абсцисс Ox, ось ординат Oy и ось аппликат Oz) с общим началом отсчёта.

Каждой точке А координатного пространства ставится в соответствие тройка чисел (xA; yA; zA) — координаты проекций точки на соответствующие оси координат.

Ax (xA; 0; 0) — проекция точки А на координатную ось Ox;

Ay (0; yA; 0) — проекция точки А на координатную ось Oу;
Az (0; 0; zA) — проекция точки А на координатную ось Oz;
Axy (xA; yA; 0) — проекция точки А на плоскость Oxy;
Axz (xA; 0; zA) — проекция точки А на плоскость Oxz;
Ayz ( 0; yA; zA) — проекция точки А на плоскость Oyz.

Расстояние между точками

На плоскости
   
В пространстве
   
$$AB=\sqrt{\left ( x_{A}-x_{B} \right )2+\left ( y_{A}-y_{B} \right )2}$$ $$AB=\sqrt{\left ( x_{A}-x_{B} \right )2+\left ( y_{A}-y_{B} \right )2+\left ( z_{A}-z_{B} \right )2}$$

Общее правило вычисления расстояния между точками (длины отрезка): 

Расстояние между точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей их соответствующих координат.

Координаты середины отрезка

На плоскости
   
В пространстве
   

$$x_{C}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2};$$

$$y_{C}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}.$$

$$x_{C}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2};$$

$$y_{C}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2};$$

$$z_{C}=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}.$$

Общее правило вычисления координат середины отрезка: 

Координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов.

Координаты точки деления отрезка в данном отношении

На плоскости
   
В пространстве
   

$$\frac{AL}{LB}=\frac{m_{1}}{m_{2}};$$

$$x_{L}=\frac{m_{2}x_{A}+m_{1}x_{B}}{m_{1}+m_{2}};$$

$$y_{L}=\frac{m_{2}y_{A}+m_{1}y_{B}}{m_{1}+m_{2}}.$$

$$\frac{AL}{LB}=\frac{m_{1}}{m_{2}};$$

$$x_{L}=\frac{m_{2}x_{A}+m_{1}x_{B}}{m_{1}+m_{2}};$$

$$y_{L}=\frac{m_{2}y_{A}+m_{1}y_{B}}{m_{1}+m_{2}};$$

$$z_{L}=\frac{m_{2}z_{A}+m_{1}z_{B}}{m_{1}+m_{2}}.$$

Уравнения прямой на плоскости

Общее уравнение прямой Уравнение прямой с угловым коэффициентом Уравнение прямой в отрезках
$$ax+by+c=0$$$$ae0,~be0$$ $$y=kx+b$$$$k = tg~\alpha $$ $$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$$$ae0,~be0$$
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки Уравнение прямой с данным нормальным вектором и проходящей через данную точку Уравнение прямой с данным направляющим вектором и проходящей через данную точку
$$\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}$$ $$P(x-x_A)+Q(y-y_A)=0$$$$\overline{n}(P; Q)$$ $$\frac{x-x_A}{p}=\frac{y-y_A}{q}$$$$\overline{m}(p;q)$$
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно к данной прямой Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой Уравнение прямой, проходящей через начало отсчёта
$$\frac{y-y_A}{x-x_A}=-\frac{1}{k}$$ $$\frac{y-y_A}{x-x_A}=k$$ $$ax+by=0$$$$ae0,~be0$$

Уравнение прямой,

параллельной оси Ох

Уравнение прямой,

параллельной оси Оу

$$by+c=0$$$$Ox:~y=0$$ $$ax+c=0$$$$Oy:~x=0$$

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

$$m_1:~~~a_1x+b_1y+c=0;$$$$m_2:~~~a_2x+b_2y+c=0;$$
$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}e\frac{c_1}{c_2}$$ $$a_1 a_2+b_1 b_2=0$$
$$m_1:~~~y=k_1x+b_1;$$$$m_2:~~~y=k_2x+b_2;$$
$$k_1=k_2;~(b_1e b_2)$$ $$k_1 k_2=-1$$

Пересечение двух прямых

Уравнения прямых $$m_1:~~~a_1x+b_1y+c=0;$$$$m_2:~~~a_2x+b_2y+c=0;$$

$$m_1:~~~y=k_1x+b_1;$$$$m_2:~~~y=k_2x+b_2;$$

Условие пересечения прямых $$\frac{a_1}{a_2}e\frac{b_1}{b_2}$$ $$k_1e k_2$$
Координаты точки пересечения прямых $$x_A=-\frac{c_1 b_2-c_2 b_1}{a_1 b_2-a_2 b_1}$$$$y_A=-\frac{a_1 c_2-a_2 c_1}{a_1 b_2-a_2 b_1}$$ $$x_A=\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2}~~~~~~$$$$y_A=\frac{k_1 b_2-k_2 b_1}{k_1-k_2}$$
Угол между пересекающимися прямыми $$tg~\alpha =\frac{a_1 b_2-a_2 b_1}{a_1 a_2+b_1 b_2}$$ $$tg~\alpha =\frac{k_2-k_1}{1+k_1 k_2}$$

Уравнение окружности

С центром в начале координат О(0; 0)$$x2+y2=R2$$ С центром в точке О(xO; yO)$$(x-x_O)2+(y-y_O)2=R2$$

Уравнение сферы

С центром в начале координат О(0; 0; 0)$$x2+y2+z2=R2$$ С центром в точке О(xO; yO; zO) $$(x-x_O)2+(y-y_O)2+(z-z_O)2=R2$$

Уравнения плоскости

Общее уравнение плоскости:$$\alpha :~~ax+by+cz+d=0$$где первые три коэффициента равны координатам вектора $$\overline{n}(a; b; c)$$перпендикулярного к плоскости α и удовлетворяют условию$$a2+b2+c2e0$$то есть, не равны нулю одновременно.
Уравнение плоскости, проходящей через точку L(xL; yL; zL) и перпендикулярной к вектору$$\overline{n}(a; b; c)$$$$\alpha :~~a(x-x_L)+b(y-y_L)+c(z-z_L)=0$$или$$\alpha :~~ax+by+cz=ax_L+by_L+cz_L.

$$

Уравнение плоскости в отрезках:$$\alpha :~~\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1,$$где a, b, c — отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях (имеются в виду соответствующие координаты концов отрезков, а не их длины). При этом должно выполняться$$ae0,~be0,~ce0.

$$

Уравнение плоскости, проходящей через начало координат:$$\alpha :~~ax+by+cz=0$$
Уравнение плоскости, параллельной координатной оси:$$\alpha ||Ox:~~by+cz+d=0;$$$$\alpha ||Oy:~~ax+cz+d=0;$$$$\alpha ||Oz:~~ax+by+d=0.

$$

Уравнение плоскости, проходящей через координатную ось:$$Ox\subset\alpha :~~by+cz=0;$$$$Oy\subset\alpha :~~ax+cz=0;$$$$Oz\subset\alpha :~~ax+by=0.$$
Уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости и самих координатных плоскостей:$$\alpha ||Oxy:~~cz+d=0;~~~~~Oxy:~~z=0;$$$$\alpha ||Oxz:~~by+d=0;~~~~~Oxz:~~y=0;$$$$\alpha ||Oyz:~~ax+d=0;~~~~~Oyz:~~x=0.$$

Взаимное расположение двух плоскостей

$$\alpha_1 :~~a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$$$$\alpha_2 :~~a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$$

Условие параллельности плоскостей: $$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}.$$При$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=\frac{d_1}{d_2}$$плоскости совпадают.
Условие перпендикулярности плоскостей: $$a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0.$$
Угол между плоскостями (меньший из возможных):$$\cos \varphi =\frac{|a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2|}{\sqrt{a_12+b_12+c_12}\cdot \sqrt{a_22+b_22+c_22}}.$$

Источник: http://math4school.ru/dekartova_sistema_koordinat

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Системы навигации и позиционирования