Поворот системы координат

Василиса ЯВИКС — интеллектуальная поисковая система. Завтра уже здесь!

поворот системы координат

Ма́трицей поворо́та (или матрицей направляющих косинусов) называется ортогональная матрица, которая используется для выполнения собственного ортогонального преобразования в евклидовом пространстве. При умножении любого вектора на матрицу поворота длина вектора сохраняется. Определитель матрицы поворота равен единице.

Обычно считают, что в отличие от матрицы перехода при повороте системы координат (базиса), при умножении на матрицу поворота вектора-столбца координаты вектора преобразуются в соответствии с поворотом самого вектора (а не поворотом координатных осей; то есть при этом координаты повернутого вектора получаются в той же, неподвижной системе координат). Однако отличие той и другой матрицы лишь в знаке угла поворота, и одна может быть получена из другой заменой угла поворота на противоположный; та и другая взаимно обратны и могут быть получены друг из друга транспонированием.

Матрица поворота в двумерном пространстве

В двумерном пространстве поворот можно описать одним углом θ со следующей матрицей линейного преобразования в декартовой системе координат:

θ⁡θ∓⁡θ±⁡θ⁡θ

Поворот выполняется путём умножения матрицы поворота на вектор-столбец, описывающий вращаемую точку:

⁡θ∓⁡θ±⁡θ⁡θ

Координаты (x′,y′) в результате поворота точки (x, y) имеют вид:

⁡θ∓⁡θ±⁡θ⁡θ

Конкретные знаки в формулах зависят от того, является ли система координат правосторонней или левосторонней, и выполняется ли вращение по или против часовой стрелки. Верхний знак указан для обычного соглашения: правосторонняя система координат и положительное направление вращения против часовой стрелки (тот же знак верен для левосторонней координатной системы при выборе положительного направления вращения по часовой стрелке; в оставшихся двух комбинациях — нижний знак).

Матрица поворота в трёхмерном пространстве

Любое вращение в трёхмерном пространстве может быть представлено как композиция поворотов вокруг трёх ортогональных осей (например, вокруг осей декартовых координат). Этой композиции соответствует матрица, равная произведению соответствующих трёх матриц поворота.

Матрицами вращения вокруг оси декартовой системы координат на угол α в трёхмерном пространстве с неподвижной системой координат являются:

  • Вращение вокруг оси :

α⁡α−⁡α⁡α⁡α

  • Вращение вокруг оси :

α⁡α⁡α−⁡α⁡α

  • Вращение вокруг оси :

α⁡α−⁡α⁡α⁡α

Положительным углам при этом соответствует вращение вектора против часовой стрелки в правой системе координат, и по часовой стрелке в левой системе координат, если смотреть против направления соответствующей оси. Например, при повороте на угол α∘ вокруг оси ось переходит в : ∘⋅. Аналогично, ∘⋅ и ∘⋅. Правая система координат связана с выбором правого базиса (см. правило буравчика).

Матрица поворота в -мерном пространстве

Совершенно аналогично могут быть записаны матрицы поворота конечномерного пространства любой более высокой размерности.

Надо только иметь в виду, что для размерностей пространства, не равных трём, невозможно указать единственную прямую, ортогональную двум данным прямым, а поэтому нельзя говорить о вращении вокруг какой-то оси, можно же говорить о вращении в какой-то плоскости. Все точки при повороте в пространстве любой размерности, начиная с 2, всегда движутся параллельно некоторой (двумерной) плоскости.

Итак, совершенно аналогично трёхмерному случаю (с приведенной оговоркой) можем написать матрицу поворота в любой координатной плоскости для любой размерности пространства.

Например:

α⁡α−⁡α⁡α⁡α

— матрица поворота в 5-мерном пространстве в плоскости ,

α⁡α−⁡α⁡α⁡α

— матрица поворота в 7-мерном пространстве в плоскости .

  • При таком подходе знаки перед синусами расставлять даже легче, поскольку они определяются порядком перечисления осей плоскости вращения: какая названа первой, в той строке перед синусом минус.
  • Легко видеть, что матрица поворота в плоскости совпадает (что естественно) с матрицей поворота в плоскости и т. д. с точностью до замены угла поворота на противоположный.
  • Поэтому такие матрицы с переставленными индексами очевидно не независимы, и для получения произвольного поворота достаточно включить в композицию каждую плоскость только один раз, то есть, скажем, только α, а не α и α.
  • Исходя из этого, нетрудно сосчитать их общее количество: −, где n — размерность пространства.

Изменение оси поворота

Пусть  — матрица поворота вокруг оси с ортом на угол α,  — матрица поворота вокруг оси с ортом на тот же угол, причем

где  — матрица поворота, изменяющая орт оси поворота . Тогда

⋅⋅

где  — транспонированная матрица.

Перестановочность поворотов

Если  — матрица поворота вокруг оси с ортом на угол α,  — матрица поворота вокруг оси с ортом на угол β,то ⋅ — матрица, описывающая поворот, являющийся результатом двух последовательно осуществленных поворотов ( и ), поскольку

⋅⋅⋅⋅

При этом последовательность поворотов можно поменять, видоизменив поворот :

⋅⋅

где матрица  — матрица поворота на угол α вокруг оси c ортом повернутым с помощью поворота :

⋅⋅⋅

поскольку ⋅, так как матрица поворота является ортогональной матрицей ( — единичная матрица). Заметим, что коммутативности поворотов в обычном смысле нет, то есть

ЭТО ИНТЕРЕСНО:  Географические координаты этна

⋅≠⋅

Выражение матрицы поворота через углы Эйлера

Последовательные повороты около осей на угол прецессии (α), угол нутации (β) и на угол собственного вращения (γ) приводят к следующему выражению для матрицы поворота:

αβγ⁡α⁡γ−⁡α⁡β⁡γ−⁡α⁡γ−⁡α⁡β⁡γ⁡α⁡β⁡α⁡γ⁡α⁡β⁡γ−⁡α⁡γ⁡α⁡β⁡γ−⁡α⁡β⁡β⁡γ⁡β⁡γ⁡β

Ось  — ось X, повёрнутая первым поворотом (на α),  — ось Z, повёрнутая первым и вторым поворотом (на α и β). Вследствие перестановочности поворотов приведённая матрица соответствует поворотам на углы γ, β, α вокруг осей Z, X, Z:

αβγα⋅β⋅γ.

В случае, если повороты задаются в другой последовательности, матрица поворота находится перемножением матриц для вращения вокруг соответствующих декартовых осей координат, например:

  • 1) Поворот около осей:
  • 2) Соответственно:
  • 3)
  • 4)
  • 5)
  • 6)
  • 7)
  • 8)
  • 9)
  • 10)
  • 11)
  • 12)

Матрица поворота вокруг произвольной оси

Пусть ось вращения задана единичным вектором , а угол поворота θ.

Тогда матрица поворота в декартовых координатах имеет вид:

θ⁡θ−⁡θ−⁡θ−⁡θ−⁡θ⁡θ−⁡θ⁡θ⁡θ−⁡θ−⁡θ−⁡θ−⁡θ−⁡θ−⁡θ⁡θ⁡θ−⁡θ

Выражение матрицы поворота через кватернион

Если задан кватернион, то соответствующая матрица поворота имеет вид:

−−−−−−−−−

Свойства матрицы поворота

Если  — матрица, задающая поворот вокруг оси → на угол φ, то:

  • →→∀→
  • →→
  • →→−⁡φ→⋅→→⁡φ
  • ⁡−⁡φ (след матрицы вращения), где n — размерность пространства (размер матрицы).
  • (матрица имеет единичный определитель).
  • Матрица обратного поворота получается обычным транспонированием матрицы прямого поворота, т. о. −.
  • Для трёхмерного пространства (матриц ×): если строки (или столбцы матрицы) рассматривать как координаты векторов →→→, то верны следующие соотношения):
    • →→→
    • →⋅→→⋅→→⋅→
    • →×→→→×→→→×→→
  • Первые два свойства, означающие условие ортогональности матрицы, верны и для произвольной размерности пространства (размера матрицы).

Примечания

  1. Ортогональность матрицы означает, что её обратная матрица равна транспонированной матрице: A−1 = AT.
  2. То есть если смотреть на плоскость вращения со стороны полупространства, где значения координат оси, вокруг которой осуществляется поворот, положительные.
  3. О вращении в плоскости можно говорить и для трёхмерного пространства, например, вращение вокруг оси есть вращение в плоскости ; однако для трёхмерного пространства возможно и то и другое представление, и поэтому обычно, если вопрос сводится к случаю только этой размерности, выбирают представление (и обозначения) вращения вокруг оси как интуитивно несколько более простое.
  4. Для всех n строк (столбцов).

Литература

  • Лурье А. И. Аналитическая механика. — М.:Физматлит. — 1961. — 824 с.

Ссылки

  • Поворот плоскости. Матрица поворота

Источник: http://yavix.ru/%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%B8%20%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0%20%D0%B2%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F

Операторы извлечения и вставки в поток, страница 2

поворот системы координат

1.  Перегрузкаоператора присваивания.

2.  Перегрузкабинарных операторов.

3.  Перегрузкаунарных операторов.

4.  Перегрузкаоператоров ++ и —.

5.  Перегрузкаоператора вызова функции.

6.  Перегрузкаоператора преобразования типа.

Вычисление вектора по координатам его концов

Проекции вектора  можновычислить по координатам начала (точка А) и конца (точка В) использую следующуюформулу:

Вычисление координат конца вектора

Координаты конца (точка В) вектора  можно вычислить по координатам начала(точка А) и проекциям вектора АВ использую следующую формулу:

Вычисление модуля вектора

Модуль вектора  (длину)можно вычислить по теореме Пифагора:

Вычисление расстояния между двумя точками

Расстояние D междудвумя точка A и B можновычислить по теореме Пифагора:

Вычисление площади треугольника

Площадь S треугольника со сторонами a,b и с можно вычислить по формуле Герона:

где

Вычисление скалярного произведения векторов

Скалярное произведение векторов  и  можновычислить по следующей формуле:

Вычисление угла между векторами

Угол  между векторами  и  можновычислить по следующей формуле:

Поворот вектора на заданный угол

Проекции вектора ,повёрнутого относительно вектора  на угол , можно вычислить по следующей формуле:

Вычисление вектора, перпендикулярного заданному вектору

Проекции вектора ,перпендикулярного вектору , можно вычислить последующей формуле:

Не трудно видеть, что скалярное произведение  векторов  и  в этом случае равно нулю

Умножение вектора на число

Умножение вектора  начисло К можно выполнить по следующей формуле:

Нетрудно видеть, что вектор  в К раз длиннее вектора  и параллелен вектору

Вычисления прямой, проходящей через две заданные точки

Уравнение прямой ,проходящей через точки  и  имеетвид:

Ø 

Откуда легко получить:

Следовательно:

Вычисление коэффициентов прямой, перпендикулярной заданной прямой

Две прямые  и  перпендикулярны друг другу, если:

Если прямая  известна, то коэффициенты  и  прямой  можно вычислить по следующим формулам:

Прямая  проходитчерез точку , если:

Вычисление детерминанта

Детерминант матрицы размером 2´2 можно вычислить по следующей формуле:

Пересечение двух прямых

Задачу нахождения точки пересечения двух прямыхна плоскости можно свести к решению двух линейных уравнений с двумянеизвестными методом Крамера:

Вычисления прямой, перпендикулярной заданному вектору и проходящей череззаданную точку

Прямая  перпендикулярнавектору  с проекциями  , если:

Прямая  проходитчерез точку , если:

ЭТО ИНТЕРЕСНО:  Географические координаты эвереста

Вычисления прямой, параллельной заданному вектору и проходящей через заданнуюточку

Прямая  перпендикулярнавектору  с проекциями  , если:

Прямая  проходитчерез точку , если:

Источник: https://vunivere.ru/work39751/page2

Преобразования прямоугольных координат

поворот системы координат

Получим формулы, связывающие координаты точки при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе координат. Рассмотрим три типа преобразований:

а) параллельный перенос;

б) поворот системы координат;

в) зеркальное отражение в оси абсцисс (изменение направления оси ординат на противоположное).

В каждом случае координаты точки в старой и новой системах координат связаны формулой (2.8). Поэтому достаточно найти вектор переноса начала координат и матрицу перехода от базиса к базису .

а) При параллельном переносе системы координат (рис.2.11,а) базис не изменяется, поэтому матрица перехода является единичной: . Находим координаты вектора переноса начала координат: . Тогда формулу (2.8) можно записать в виде

б) При повороте системы координат на угол (рис.2.11,6) начало новой системы координат совпадает с началом старой, поэтому вектор переноса нулевой: . Разлагая новые базисные векторы по старому базису, получаем Составим матрицу перехода, записывая координаты векторов по столбцам: . Тогда формулу (2.8) можно записать в виде

в) При зеркальном отражении в оси абсцисс (изменении направления оси ординат на противоположное) (рис.2.11,в) начало новой системы координат совпадает с началом старой, поэтому вектор переноса нулевой: . Разлагая новые базисные векторы по старому базису, получаем (так как ), или . Составим матрицу перехода, записывая координаты векторов по столбцам: . Тогда формулу (2.8) можно записать в виде .

Аналогично определяется зеркальное отражение в оси ординат (изменение направления оси абсцисс на противоположное).

Покажем, что любое преобразование прямоугольной системы координат сводится к последовательному применению рассмотренных преобразований, т.е. к композиции преобразований систем координат. Действительно, пусть на плоскости заданы две прямоугольные системы координат и . Сначала, если точки и не совпадают, выполним параллельный перенос старой системы координат на вектор , при этом получим систему координат .

Затем при помощи поворота на угол совместим вектор с вектором , при этом получим систему координат , где вектор либо совпадает с вектором , либо противоположен ему . В первом случае, когда обе системы и одноименные, никаких преобразований делать уже не надо, так как полученная система координат совпадает с заданной (рис.2.12,а). Во втором случае, когда системы и разноименные, для получения системы достаточно изменить направление оси ординат на противоположное, т.е.

выполнить зеркальное отражение в оси (рис.2.12,6). Формулы, связывающие старые и новые координаты точки, имеют вид:

– при одноименных системах координат (рис.2.12,а):

(2.9)

– при разноименных системах координат (рис.2.12,6):

(2.10)

Таким образом, любое преобразование прямоугольной системы координат на плоскости сводится к композиции преобразований, каждое из которых является либо параллельным переносом, либо поворотом, либо зеркальным отражением в оси координат.

Замечания 2.3.

1. Для рассмотренных преобразований координат точек нетрудно получить выражения новых координат через старые:

Для преобразования (2.9) аналогичные формулы имеют вид:

2. При и из соотношений (2.10) получается преобразование изменяющее названия координатных осей (зеркальное отражение в прямой, содержащей биссектрису первого координатного угла).

3. Справедливо утверждение: любое преобразование прямоугольной системы координат на плоскости может быть представлено в виде композиции зеркальных отражений в некоторых прямых.

Для доказательства достаточно показать, что рассмотренные выше преобразования — параллельный перенос (рис.2.11,а) и поворот (рис.2.11,6) — можно представить при помощи композиции зеркальных отражений.

Действительно, параллельный перенос системы координат вдоль оси абсцисс (на вектор ) можно получить при помощи двух отражений: первое — относительно оси ординат (получим систему координат ) , а второе — относительно прямой , проходящей через точку на оси абсцисс параллельно оси ординат (рис.2.13,а).

Аналогично выполняется сдвиг вдоль оси ординат. Поэтому любой параллельный перенос сводится к композиции зеркальных отражений.

Чтобы получить поворот на угол , нужно выполнить два зеркальных отражения (рис.2.13,6): первое — относительно оси ординат (получим систему ), а второе — относительно биссектрисы угла между векторами и .

4. Утверждение пункта 3 можно уточнить: любое преобразование прямоугольной системы координат на плоскости может быть представлено в виде композиции не более трех зеркальных отражений в некоторых прямых.

5. Преобразования координат (2.7) и (2.8) называются ортогональными, если матрица перехода ортогональная, т.е. . Нетрудно но показать, что преобразования (2.9),(2.10) ортогональные, поэтому любое преобразование прямоугольной системы координат является ортогональным.

Пример 2.5. Известны координаты точек и в прямоугольной системе координат на плоскости. Найти координаты точки в прямоугольной системе координат , полученной при помощи зеркального отражения в некоторой прямой системы (рис.2.14).

Решение. Находим вектор переноса начала системы координат , его длину и угол между векторами и , так как .

Ось симметрии при зеркальном отражении является серединным перпендикуляром к отрезку , поэтому угол , который образует ось симметрии с положительным направлением оси абсцисс , равен .

Отражение в оси представим в виде композиции следующих преобразований: параллельного переноса на вектор ; поворота на угол ; зеркального отражения в оси абсцисс (рис.2.12,6). Старые и новые координаты точки связаны формулой (2.10) при . Учитывая, что и

ЭТО ИНТЕРЕСНО:  Географические координаты кракатау

получаем

Подставляя старые координаты точки , получаем ее новые координаты:

Следовательно, точка имеет одинаковые координаты в обеих системах, т.е. точка лежит на оси симметрии .

Преобразования прямоугольных координат в пространстве

Получим формулы, связывающие координаты точки при переходе от одной прямоугольной системы координат в пространстве к другой прямоугольной системе координат.

Рассмотрим три типа преобразований прямоугольной системы координат:

а) параллельный перенос;

б) поворот вокруг координатной оси;

в) зеркальное отражение в координатной плоскости (изменение направления одной координатной оси на противоположное).

В каждом случае координаты точки в старой и новой системах координат связаны формулой (2.7). Поэтому достаточно найти вектор переноса начала координат и матрицу перехода от базиса к базису .

а) При параллельном переносе системы координат базис не изменяется, поэтому матрица перехода является единичной: . Находим координаты вектора переноса начала координат: . Тогда формулу (2.7) можно записать в виде

б) При повороте системы координат на угол (рис.2.11,б) вокруг оси аппликат начало новой системы координат совпадает с началом старой, поэтому вектор переноса нулевой: . Разлагая новые базисные векторы по старому базису, получаем

Составим матрицу перехода , записывая координаты векторов по столбцам. Тогда формулу (2.7) можно записать в виде

Очевидно, что система координат на плоскости при этом преобразовании поворачивается на угол .

в) При зеркальном отражении в плоскости (изменении направления оси аппликат на противоположное) начало новой системы координат совпадает с началом старой, поэтому вектор переноса нулевой: . Разлагая новые базисные векторы по старому базису, получаем

Составим матрицу перехода

Тогда формулу (2.7) можно записать в виде

Аналогично определяются зеркальные отражения в других координатных плоскостях (изменение направлений осей абсцисс или ординат на противоположные).

Матрицы переходов в пунктах «а», «б» и «в» ортогональные (см. пункт 5 замечаний 2.3).

Как и в случае преобразований на плоскости, можно показать, что любое преобразование прямоугольной системы координат в пространстве сводится к композиции преобразований, каждое из которых является либо параллельным переносам, либо поворотам вокруг координатной оси, либо зеркальным отражением в координатной плоскости.

Углы Эйлера

Используя композицию, получим формулы преобразования координат точки в пространстве при переходе от старой прямоугольной системы к новой , имеющей то же начало и ту же ориентацию (т.е. новая система координат получается из старой поворотом вокруг начала координат ). Обе системы координат изображены на рис.2.15 (полужирными и двойными линиями соответственно).

Чтобы от системы перейти к системе нужно выполнить три поворота. Сначала проведем через точку перпендикуляр (линию узлов) к плоскости . Направление на этом перпендикуляре выберем так, чтобы ориентация системы координат совпадала бы с ориентацией системы координат . Если оси и совпадают, то ось выбирается совпадающей с осью .

Если оси и противоположно направлены, то и ось выбирается противоположно направленной оси . Затем последовательно сделаем три поворота:

– первый поворот выполним вокруг оси на угол от оси до оси (получим систему координат , оси и которой изображены штриховыми линиями на рис.2.15);

– второй поворот выполним вокруг оси на угол от оси до оси , при этом ось примет положение (получим систему координат , ось которой Рис.2.15 изображена двойной штриховой линией на рис.2.15);

– третий поворот выполним вокруг оси на угол от оси до оси .

Указанные углы называются углами Эйлера, в частности, угол называется углом прецессии, угол — углом нутации, а угол — углом чистого вращения.

Согласно пункту «б», запишем матрицы переходов от базиса к базису для указанных поворотов соответственно:

По свойству 1 (см. разд.2.2.1) получаем матрицу перехода от базиса прямоугольной системы координат к базису прямоугольной системы координат :

Отсюда следуют формулы для преобразования прямоугольных координат точки

Поскольку каждая из матриц ортогональная, то и их произведение также является ортогональной матрицей (см. пункт 5 замечаний 2.3).

Пример 2.6. Прямоугольная система координат получена из стандартной системы координат при помощи поворота на угол вокруг прямой, проходящей через начало координат и образующей равные углы с координатными осями (на рис.2.16 эта прямая изображена одной точкой , поскольку перпендикулярна плоскости рисунка). Требуется найти углы Эйлера.

Решение. Составим матрицу перехода от базиса к базису .

Так как , то

Сравнивая с матрицей , заключаем, что (так как и ); (так как и ); (так как и ).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Источник: http://MathHelpPlanet.com/static.php?p=pryeobrazovaniya-pryamougolnyh-koordinat

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Системы навигации и позиционирования
Нужен ли тахограф на зил бычок

Закрыть